пятница, 9 апреля 2010 г.

Парадокс игры в кости

Этот пост - своеобразная подготовка к следующему посту. Здесь выложены математические основы тех советов которые вы увидите следующем посту. Но прочитать его, думаю, будет не лишним. Тем более что написан он не «сухим» математическим языком, а обычным человеческим, и понятен даже для пятиклассника. Итак:
Немного истории
Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова «alzar», в переводимого как «игральная кость». Карточные игры стали популярны в Европе лишь в XIV веке, в то время как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена 1-й династии и позднее в Греции. А также в Римской империи. (Согласно греческой легенде, игру в кости предложил Паламедей для развлечения греческих солдат, скучающих в ожидании битвы при Трое. Павсаний, писатель, живший во ІІ веке, упоминает написанную в V веке до нашей эры картину Полигнота, на которой изображены Паламедей и Ферсит, играющие в кости). Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» («De Ludo Aleae») Джероламо Кардано (1501 - 1576 гг.), которая в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти 100 лет. Видимо, поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена. Галилей также написал трактат на эту тему: «Об открытиях, совершенных при игре в кости»
Сам парадокс
Правильная игральная кость (сумма очков на противоположных гранях равна 7) при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1,2,…6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1,2 …6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5 и 10 = 4+6 =5+5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?
Решение парадокса:
Задача настолько проста, что кажется странным, что в свое время ее считали страшно трудной. И Кардано, и Галилей отмечали необходимость учета порядка выпадения чисел. (В противном случае не все исходы были бы равновозможными.) В случае двух костей 9 и 10 могут получаться следующим образом: 9=3+6=6+3=4+5=5+4 и 10 = 4+6=6+4=5+5. Это означает, что в задаче с двумя костями 9 можно «выбросить» четырьмя способами, а 10 – лишь тремя. Следовательно, шансы получить 9 предпочтительней. (Поскольку две кости дают 6*6=36 различных равновозможных пар чисел, шансы получить 9 равны 4/36, а для 10 – лишь 3/36) В случае трех костей ситуация меняется на противоположную : 9 можно «выбросить» 25 способами, а 10 – уже 26 способами. Так что 10 более вероятно, чем 9.

Источник: Габор Секей «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике»

Комментариев нет:

Отправить комментарий